【はじめに】588^2+2353^2=5882353 と分数 1/17 = 0.5882352...

全体の目次【数遊び編】【代数・幾何編】 - dedemoni's mathematics

いきなりですが下の数式を見てください！！！

$\boldsymbol{12^2+33^2=1233}$

$\boldsymbol{588^2+2353^2=}\;$ $\boldsymbol{5882353}$

この数式にはある共通点があります

分かりやすく色を付けてみましょう

$\boldsymbol{12^2}$ $\boldsymbol{+}$ $\boldsymbol{33^2}$ $\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{12}$ $\boldsymbol{33}$

$\boldsymbol{588^2}$ $\boldsymbol{+}$ $\boldsymbol{2353^2}$ $\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{588}$ $\boldsymbol{2353}$

二つの数が合体しています！

不思議ですね！！

次は下の式を見てください

$\boldsymbol{\cfrac{1}{17}}$ $\boldsymbol{=0.0}$ $\boldsymbol{5882352}$ $\boldsymbol{94117647}$ $\boldsymbol{0588...}$ （以下循環）

お！これは！！！！

先ほどの $\boldsymbol{5882353}$ に似ている数字が出てきました！

一体どういうことなのでしょうか.....？

このブログではこんな不思議な数についてや、それと関連した数学の様々なトピックについて全15回くらいでご紹介していきます！

今回はその概要を説明します。

記事のご紹介

連載内容は前編【数遊び編】と後編【代数・幾何編】に分かれます。

今回の概要ではそれらから面白い話を抜粋して紹介するのでぜひご覧になってください！

ただ概要ということで色々はしょった説明になっていることはご了承ください。

記事のご紹介
- 数遊び編のご紹介
- 代数・幾何編のご紹介
  - １　代数への応用
  - ２　幾何への応用
おわりに

数遊び編のご紹介

$1233$ や $5882353$ のような数は二数を接続した数なので接続数と呼ぶことにします。

接続数は知名度はこそないですが面白い性質がべらぼうにあるので、数遊び編で紹介していきます！

１　接続数

数遊び編１では $1233$ や $5882353$ 以外の接続数を求めていきます。

そこで接続数は必ず二組のペアになって現れることなどを紹介します！

しかしここはまだ準備の側面が大きいです。

２　循環小数と接続数

数遊び編２では最初に紹介したように、分数 $\cfrac{1}{17}$ に接続数 $5882353$ が出てきた理由を考えていきます！

そしてその最中、接続数は非常に美しい構造をなしていることが分かってきます。

その構造によって分数になぜ接続数が出てきたのかが説明できます！

逆にそれを応用すると、ある条件を満たす素数から接続数を見つけられます。

例えば素数 $61$ はその条件を満たします。そのため、 $\cfrac{1}{17}$ のようにその逆数 $\cfrac{1}{61}$ から接続数が出てきます！

循環小数部分は下のようになります。循環するまで非常に長いですね。

$\boldsymbol{\frac{1}{61} }=$ $\boldsymbol{0.0163934426229508196721311475}$ $\boldsymbol{409836065573770}$ $\boldsymbol{491803278688524}$ $\boldsymbol{59...}$

この途中の赤と青の部分がなんと接続数になっています！

確かめてみましょう！

$\boldsymbol{409836065573770^2}$ $+$ $\boldsymbol{491803278688525^2}$ $=$ $\boldsymbol{409836065573770}$ $\boldsymbol{491803278688525}$

このように桁数の多い接続数を瞬時に求められます！

【数遊び編２】接続数と分数のただならぬ関係 - dedemoni's mathematics

３　複素数と接続数

さらに考察を進めると、複素数を用いることで全ての接続数が簡単に得られることがわかります！

接続数の求め方

$10^{n}+i=(s-ti)(u+vi)$ のとき $(su,sv), (tv,sv)$ の二組はn桁の接続数

？？？だと思いますが、概要なので詳しくは説明しません。

例を一つ挙げると $10^2+i=(3-8i)(4+11i)$ より

$(3×4)^2+(3×11)^2=12^2+33^2=1233$ と

$(8×11)^2+(3×11)^2=88^2+33^2=8833$ が出てくるようなイメージです！　

本編ではこの式にたどり着くまでの道筋をたどっていきます！

数遊び編３ではこの方法を用いて $74160^2+43776^2=7416043776$ のように五桁の数を合体させた接続数を全て求めます。

また、接続数は複素数平面上で面白い性質を持ちます！

例えば、今の $74160^2+43776^2=7416043776$ は $74160+43776i$ の表す点を複素数平面に打つことにします。

（ xy平面だと $(x,y) = (74160,43776)$ ）

下図はそのようにして全ての五桁の接続数を複素数平面でプロットした図です。

どうやら円上に配置されるようですね。

次はその点同士を直線で結んでみます。下図を見てください。

平行な直線が沢山あります！

平行な直線同士は同じ色にしてあります。

接続数を平面上にプロットすると非常に規則正しく配置されることがわかります！

これは何故なのでしょうか。

そしてどういった条件を満たせば平行になるのでしょうか。

見やすいように一部だけ抜き出します。

$25840+43776i$ と $82350-38124i$ を結んだ直線と

$17650+38125i$ と $74160-43775i$ を結んだ直線だけ抜き出したのが上の図です。

これらの複素数を掛けると....

$(25840+43776i)(82350-38124i)=3796840224 + 2619829440 i$
$(17650+38125i)(74160-43775i)=2977845875 + 2054721250 i$

何も見えてきませんが、実部と虚部が互いに素になるように括ります。

$3796840224 + 2619829440 i=16416$ $(231289 + 159590 i)$
$2977845875 + 2054721250 i=12875$ $(231289 + 159590 i)$

$231289 + 159590 i$ の部分が共通しています！

このように複素数の積が実数倍の違いだけならその二点を結んだ直線は平行になります！

そして平行線が沢山ある理由は、接続数の求め方から説明できます！

詳しくは【数遊び編３】で説明します。

また、一般の円上の格子点（整数解をxy平面に表したもの）も複素数を用いて求めることが出来ます！

下の図は、 $x^2+y^2=53x+59y$ の全ての格子点と平行な線分同士を同じ色にして描写したグラフです！きれいですね！

円上の格子点はこのように精巧に配置されます！

【数遊び編３】複素数10^n+iの因数と(非)接続数の一対一対応 - dedemoni's mathematics

４　カプレカ数と減法接続数

最初に載せた $\cfrac{1}{17}$ の小数部分もう一度見てください。

$\boldsymbol{\cfrac{1}{17}=0.05}$ $\boldsymbol{8823529411764705}$ $\boldsymbol{8823529411764705...}$

$\cfrac{1}{17}$ はこの紫色の $\boldsymbol{8823529411764705}$ が循環していると考えることもできますが、この数字も面白い性質があります！

まずこの数を二乗します

$\boldsymbol{8823529411764705^2}$

$\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{7785467128027680}$ $\boldsymbol{1038062283737025}$

次にこの二乗した数を真ん中で赤い部分と青い部分の二つに分けます。

$\boldsymbol{7785467128027680}$ $\boldsymbol{1038062283737025}$

この二数を足してみると・・・

$\boldsymbol{778546712027680}$ $\boldsymbol{+}$ $\boldsymbol{1038062283737025}$

$\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{8823529411764705}$

すごい！元に戻りました！

これも接続数みたいで面白いですよね。

このように二乗して分けて足すと元に戻る数はカプレカ数と呼ばれています。

ところで、 $\cfrac{1}{61}$ の循環小数の小数第一位からの数字は

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459

でしたが、770... を先頭とした

770491803278688524590163934426229508196721311475409836065573

もなんとカプレカ数になります！！

770491803278688524590163934426229508196721311475409836065573^2 = 593657618919645256651437785541521096479441010481053480247244176834184359043267938726148884708411717280300994356355818329

593657618919645256651437785541521096479441010481053480247244 + 176834184359043267938726148884708411717280300994356355818329 =770491803278688524590163934426229508196721311475409836065573

長っ！

実は全ての素数の逆数の小数部分はこのようにカプレカ数と関係があります！

※一部例外がありますが、ごくごく一部です

数遊び編４ではこのカプレカ数や、 $134^2-67^2 =13467$ のように二乗の差が二数の接続になる減法接続数についてご紹介する予定です！

複素数を用いると接続数が求まると説明しましたが、減法接続数の場合は分解型複素数という特殊な数を用いて解きます！

お楽しみに！

ここまでの内容が前編である数遊び編です。

後編となる代数・幾何編は前編の内容をさらに発展させていきますが、前編とは独立しているので、数遊びなんかよりゴリゴリの数学のほうが好きだよ！という方は後編を先にご覧になるのもいいと思います。

前編はエンタメに振り切りましたので、後編のほうがもっと抽象的で数学らしいと思います。

代数・幾何編のご紹介

１　代数への応用

先ほど、複素数を用いて接続数、つまり円の格子点を求められると説明しました。

接続数の求め方

$10^{n}+i=(s-ti)(u+vi)$ のとき $(su,sv), (tv,sv)$ の二組はn桁の接続数

ここで上の定理の虚数単位 $\boldsymbol{i}$ を $\boldsymbol{\sqrt{2}}$ に置き換えると今度はなんと双曲線 $x^2-2y^2=10^{n}y+x \; ...$ ( i ) の格子点が求まります！

( i ) の求め方

$10^{n}+\sqrt{2}=(s-t\sqrt{2})(u+v\sqrt{2})$ のとき $(sv,tu), (tu,tv)$ の二組は ( i ) の解

このようにどんな二次曲線も、接続数を求める方法を拡張することで格子点を全て求めることができます。（詳しい話は割愛します）

二次曲線は楕円や放物線などの曲線のことです。

さらにｎ次曲線に一般化でき、

$x^3-2y^3=11x^2-14y^2$

などの方程式も求められます。

この例で整数解の解き方を軽く説明します。

この場合、 $i$ や $\sqrt{2}$ ではなく $\sqrt[3]{2}$ が解くカギになります！

なぜ $\sqrt[3]{2}$ かというと、これは $(x,y)=(\sqrt[3]{2},1)$ を左辺 $x^3-2y^3$ に代入すると丁度 $0$ になる数だからです！

円 $x^2+y^2=10^nx+y$ で $i$ 、双曲線 $x^2-2y^2=10^ny+x$ で $\sqrt{2}$ 　を用いた理由も $(i,1), (\sqrt{2},1)$ をそれぞれ左辺に代入すると $0$ になるからです。

今度は $(\sqrt[3]{2},1)$ を右辺 $11x^2-14y^2$ に代入します。

$11\sqrt[3]{4}-14$

になりますが、これを因数分解します。

例えば、

$($ $2$ $\sqrt[3]{2}$ $-1$ $)($ $-3$ $\sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{2}+2)$

と因数分解できます。

あまり見ない形の因数分解だとは思いますが、展開すると等しくなります。

このとき色のついた係数を掛け合わせた

$(x,y)=($ $-1$ $\times$ $-3$ $,-$ $2$ $\times$ $-3$ $)= (3,6)$

はなんと $x^3-2y^3=11x^2-14y^2$ の整数解になります！

確かめてみましょう！

左辺： $3^3-2 \times 6^3=27-432=-405$

右辺： $11\times 3^2-14\times6^2=99-504=-405$

左辺＝右辺ですね！

このように $a\sqrt[3]{2}+b$ の形をした $11\sqrt[3]{4}-14$ の因数と、この方程式の整数解は一対一対応になります！

そのため、この形の因数を（広い意味の）素因数分解で全て求めれば整数解もすべて出せます！

手計算で素因数分解をするのは難しいですがコンピュータを用いれば容易にできます！

他の例だと

$x^3-2x^2 y-xy^2+y^3=-100x^2-25xy-83y^2$ の方程式の整数解は、

$(x,y)= (-92952, -41312), (-18352, -8112),$ $(-482, -964), (-158, 158),(-100, 0),(0, -83), (0, 0)$ $(208, 208), (1066, 533), (12700, -15875),$ $(51740, 93132), (127369466770, 229511848462)$

になります。

プログラムを走らせたので、 $(x,y)= (127369466770, 229511848462)$ のような非常に大きな解もしっかり求められます！

曲線をxy平面で描いたら下図の曲線になります。

（双曲線みたいな感じでしょうか？）

もう一つ例を挙げると

$x^6+x^3 y^3+y^6=-778x^5-35x^4 y-45x^3 y^2-933y^5$

の整数解は

$(x,y)=(-778, 0), (-597, -597),$ $(-230, -920), (0, -933), (0, 0), (145, -145)$

になります。

曲線は下のようになります。

（水餃子....?）

これらのように（ｎ次）＝（ｎ-1次）の方程式ならこの方法を用いてコンピュータで整数解が求めることが出来ます！

方程式 $x^3-2y^3=11x^2-14y^2$ の話にまた戻ります。

この曲線もxy平面で描いたら下図の緑色の曲線になります。

不思議な形をしていますね～。

この曲線や先ほどの二つのように（ｎ次）＝（ｎ-1次）の方程式の曲線は原点を通る直線との交点が原点を除くと一点に必ず定まるという性質があります！三本の赤直線もそれぞれ一点だけと交わっています。

先ほど求めた格子点 $(3,6)$ も図示していますが、この点と原点を結んだ直線は
$2$ $x$ $-$ $y=0$ になります。この係数は前も出てきました！

$11\sqrt[3]{4}-14$ の因数

$2$ $\sqrt[3]{2}$ $-1$ と係数が同じです！

他の二点の格子点 $(11,7),(6,-3)$ は原点と結んだ直線がそれぞれ

$7$ $x$ $-11$ $y=0$ , $x+$ $2$ $y=0$

になりますが、係数を同じにした

$7$ $\sqrt[3]{2}$ $-11$ , $\sqrt[3]{2}+$ $2$ も

$11\sqrt[3]{4}-14=($ $7$ $\sqrt[3]{2}$ $-11$ $)(- \sqrt[3]{4})$

$11\sqrt[3]{4}-14=($ $\sqrt[3]{2}+$ $2$ $)(3 \sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{4}-10)$

と因数分解できるため、因数になります。

このように格子点を通る直線と係数が同じ数は $\boldsymbol{11\sqrt[3]{4}-14}$ の因数になります！

因数と格子点が原点を通る直線を介して対応しているのがわかります。

曲線上の点 $(3,6)$ を点 $A$ 、因数 $2$ $\sqrt[3]{2}$ $-1$ を $\alpha$ とするとこの二つは互いに対応します。このように対応する因数と点は、二つまとめて $A[\alpha ]$ のように $[\; ]$ に因数を書いて表すことにします。

次に紹介する幾何編では因数と曲線上の点の間にある相互関係の理論をさらに展開していきます！

２　幾何への応用

二次曲線 $x^2+axy+by^2=cx+dy \; ...$ ( ii ) の方程式を xy平面で考えることで非常に汎用性の高い定理を得ることが出来ます。

積が等しい ⇔ 平行関係

( ii ) 上の点 $A [\, \alpha \,]$ , $B [\, \beta \,]$ , $C [\, \gamma \,]$ , $D [\, \delta \,]$ に関して

$\boldsymbol{\alpha \beta \equiv \gamma \delta \;\;\;⇔\;\;\; AB / / CD }$

これは数遊び編３で紹介した積が実数倍の違いなら平行になる法則を拡張したものです。

$\equiv$ は実数倍の違いであるという意味で使っています。

代数・幾何編ではこの定理を存分に使って二次曲線上の点や格子点を考察していきます！

例えば、 $x^2+2xy+3y^2=37x+102y$ のとき、複素数 $X$ は $(X,1)$ を左辺に代入して０になる数とします。
これを右辺に代入すると $37X+102$ になります。
これは、 $37X+102=αβγ \;(α=X-2 , β=X, γ=9X+2)$ と素因数分解できます。

因数は $1,α,β,γ,αβ,βγ,αγ, αβγ$ の６つが全てなので格子点の数も６つになります。

それぞれの因数に対応する格子点を図示したものが下図になります。

このとき定理より、二点を結んだ線分同士は対応する因数の積が等しいときに平行になります。

例えば紫線分の場合、 $(1)(\alpha \beta) = (\alpha)(\beta)$ と積が同じになります。

また、この定理を応用すると二次曲線上の点同士に積という演算をうまく定義できます。

最後にそれを説明します。

下の放物線上に三点 $1$ , $\alpha$ , $\beta$ を適当に取ります。

点 $1$ ってなんだよ！！と思うかもしれませんが、 $1$ という名前がついた点という意味です。 $\alpha$ $\beta$ もそういう名前がついた点という意味です。

先ほどまでの『因数』の話は今から説明することの背景にあるのですが紛らわしいので一旦忘れてください....

$\alpha$ と $\beta$ の積の点は $\alpha\beta$ とします。

そしてその位置を $\alpha$ , $\beta$ を結んだ線分と $1$ と $\alpha\beta$ を結んだ線分が平行になるところに取ることにします。（上図）

このように定義すると、他にも４点 $\alpha^2$ , $\beta^2$ , $\alpha^2\beta$ , $\alpha\beta^2$ も同じように点 $\boldsymbol{1}$ を通る平行線を引けば下のように取れます。 $\alpha^2$ は $\alpha$ の接線と平行になるように取ります。