2024-08-27

【代数・幾何編１】代数的整数の因数と二次曲線の格子点の一対一対応について

まだ冒頭も冒頭しか書いてないんだけどすぐに続き書くか怪しいし公開だけしときます

※本文は数Ⅲまでの高校数学を事前知識としています。

こんにちは dedemoni です！

いきなりですが、今回の肝となる２つの定理の紹介に入ります！【代数・幾何編】の半分以上がこの二つの定理の解説で占めているくらいなので、最初読んでわからなくてもちろん大丈夫です。適当に目を通しておいてください。

この定理を見つけるきっかけになった話は前回【数遊び編】で紹介していますが、今回とほぼ独立しているので先に読む必要はないです！

係数が全て整数の不定方程式： $x^2+axy+by^2=cx+dy \; ...(1)$ を考えましょう。

これは、 $a=0,\;b=1$ で円、 $a=0,\; b=-2$ で双曲線、 $a=0,\; b=0$ で放物線になることから二次曲線を表すことがわかると思います。また、必ず $(0,0)$ を解に持つので原点を通ります。

ここで、二次方程式： $x^2+ax+b=0$ の解の一つを $X$ とします。

$X$ は $a=0,\; b=1$ で $\pm i$ 、 $a=0,\; b=-2$ で $\pm\sqrt{2}$ 、 $a=0,\; b=0$ で $0$ になりますが、 $0$ のような整数は特殊操作が必要なので置いといて、とりあえず $X$ は $i$ とか $\sqrt{2}$ のような数だとイメージしていてください。

このとき、定理１と定理２が成り立ちます。

定理１は $cX+d$ の因数と $(1)$ 上の格子点が一対一対応しているというものです。

定理２は二組の因数の積が同じならば、対応する格子点を結んだ二組の直線は平行になっているという定理です。逆も成り立ちます。

定理１　　因数から格子点を得る

$cX+d$ を整数 $s, t, u, v$ を用いて

$\boldsymbol{cX+d=(sX+t)(uX+v)}$

と因数分解できたら、直線： $sx+ty=0$ と $(1)$ の原点でない交点 $A$ は $A(tu,-su)$ となり、格子点である。同様に直線： $ux+vy=0$ と $(1)$ の交点は格子点 $\bar{A}(sv,-su)$ となる。

$\bar{A}$ は $A$ と $y$ 座標が等しくなっています。このようにある格子点 $P$ と対になる格子点は上にバーをつけて $\bar{P}$ と表記します。

定理１の続き　　格子点から因数を得る

$(1)$ 上の任意の格子点 $A$ に関して、原点と $A$ を結んだ直線を、 $sx+ty=0$ （ $s$ と $t$ は互いに素）とする。
このとき、 $cX+d$ を $sX+t$ で割った値を $uX+v$ とすると、 $u$ と $v$ は整数。

このようにある格子点 $A(tu,-su)$ は $cX+d$ の因数 $\alpha = sX+t$ と一対一対応しているので、二つ合わせて $A [\, \alpha \,]$ と表記することにします。

定数倍しただけの因数は同じ格子点に対応するので同じ因数だとみなします。

定数倍しても等しいという関係は $≡$ で結ぶことにします。（例： $3+2i ≡ 6+4i$ ）

定理２　　因数の積が等しい ⇔ 平行関係

$(1)$ 上の点 $A [\, \alpha \,]$ , $B [\, \beta \,]$ , $C [\, \gamma \,]$ , $D [\, \delta \,]$ に関して

$\boldsymbol{\alpha \beta \equiv \gamma \delta \;\;\;⇔\;\;\; AB / \!/ CD }$

2024-05-09

【複素数３】おまけ　等式一覧とか飛ばした証明

おまけ

お久しぶりです！

今回は接続数にまつわる綺麗な等式とか、飛ばしていた証明を補足を書きます！！！

おまけ
- おまけ１：接続数の等式一覧
- おまけ２：減法接続数の等式一覧
- おまけ３：10^2n+1 の素因数が全て二乗の和にできること
- おまけ４：a,b,c,d から s,t,u,v が求まることの証明
- 追記：引継ぎ研究してた長高生へ！

2023-09-08

円の格子点を複素数の素因数分解を用いて求める【複素数２】

数遊び編

（※この記事は以前の記事を読まなくとも問題ありませんが、以前に接続数について解説したので、それに関する記述が若干あります）

はじめに
- 複素数も素因数分解できる！
複素数の因数と円の格子点
複素数平面で考えてみる
二つの因数の積に対応する格子点の位置
格子点同士の平行関係
- 以前の記事の補足

はじめに

例えばですけど、 $x^2+y^2 =131x+83y$ は原点を通る円の方程式ですが、その円周上にある格子点の求め方はわかりますか。

この円の場合、下図のように -13 < x < 144 と $x$ の範囲が絞られるのでこの範囲内でxをしらみつぶしに代入していけば答えは得られます。

ただ、この方法だと大変ですし偶然整数になっている解を集めている感じがします。

しかし、格子点は偶然ではなく、とある規則に基づいて精巧に配置されています。

原点を通る円の場合、もっと本質的で、エレガントに格子点を求める方法があるので、この記事ではそれをご紹介します！

具体的には、この円（ $x^2+y^2 =131x+83y$ ）の格子点は複素数 $131+83i$ の因数と一対一対応するという性質を用いて求めていきます！

その前に、軽く複素数の素因数分解について説明しますね！

2023-03-14

【複素数１】10^n+iの因数と(非)接続数の一対一対応

はじめに

目次：全体の目次【数遊び編】【代数・幾何編】 - dedemoni's mathematics

概要：【はじめに】588^2+2353^2=5882353 と分数 1/17 = 0.5882352... - dedemoni's mathematics

前回：【循環小数４】すさまじい桁の接続数 - dedemoni's mathematics

いままでの要約と今回の目標

循環小数編を読んでないor忘れた人向けに重要部分を復習します！

$\boldsymbol{5882353}$ という数字は

$\boldsymbol{588^2}$ $\boldsymbol{+}$ $\boldsymbol{2353^2}$ $\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{588}$ $\boldsymbol{2353}$

のように二乗の和が合体する接続数です。

また、接続数は

$\boldsymbol{\cfrac{1}{17}}$ $\boldsymbol{=0.0}$ $\boldsymbol{5882352}$ $\boldsymbol{94117647}$ $\boldsymbol{0588...}$

のように分数の循環小数に出てくるという性質もがあります！
循環小数編ではこの理由について考えていきました。

接続数は二乗の和が合体する数なので

$\boldsymbol{x^2+y^2=10^nx+y}$ の自然数解にほかなりません。

この方程式は円の式なので対称性より整数解は4つ同時に出てきます。

このとき、解同士には下の関係式がありました。

４つの対の解どうしの関係式

$(x,y)=(a.b), (c,b), (c,d), (a,d)$ が $x^2+y^2=10^nx+y$ の整数解のとき

$a+c=10^n, \;\;\;\; b+d = 1$

$s, u, v, t$ を下のように $a, b, c, d$ の最大公約数とします。

$s=\gcd( a, b ),\; t=\gcd(c, d) , \;$ $u =\gcd(a, d) ,\; v=\gcd (c, b)$

このとき、下三つの関係式が成り立ちます。

関係式

$a = su,\:\;b=sv,\:\: c=tv,\:\; d=-tu$
$(s^2+t^2)(u^2+v^2)=10^{2n}+1$
$\cfrac{s^2}{s^2+t^2}= \cfrac{a}{10^n}+\cfrac{b-1}{10^{2n}}+\cfrac{c}{10^{3n}}+\cfrac{d-1}{10^{4n}} +\;...$