【数遊び編１】588^2+2353^2=5882353 と分数 1/17 = 0.5882352...

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概要：【はじめに】588^2+2353^2=5882353 と分数 1/17 = 0.5882352... - dedemoni's mathematics

下の二つの数式を見てください！

$\boldsymbol{12^2}$ $\boldsymbol{+}$ $\boldsymbol{33^2}$ $\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{12}$ $\boldsymbol{33}$

$\boldsymbol{588^2}$ $\boldsymbol{+}$ $\boldsymbol{2353^2}$ $\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{588}$ $\boldsymbol{2353}$

二つの数が合体しています！
疑わしかったら電卓などで計算してみて下さい！

不思議ですよね。

他にもこんな数はあるのでしょうか。

二乗した数の和がその二数をそのまま接続した数になっているため、このような数は接続数と呼ぶことにします！

そして下の式も見てください。

$\boldsymbol{\cfrac{1}{17}}$ $\boldsymbol{=0.0}$ $\boldsymbol{5882352}$ $\boldsymbol{94117647}$ $\boldsymbol{0588...}$ （以下循環）

お！これは！！！

先ほどの $\boldsymbol{5882353}$ に似ている数字が小数に出てきました！

$\boldsymbol{5882353}$ は接続数なだけではなく、 $\boldsymbol{\cfrac{1}{17}}$ の小数部分に出てくる数として知られています！

しかしこの二つの性質を同時に持つことの理由は、ネットで探してみてもがうまく見つけられませんでした。

ということで、その理由を考えてみましょう！

ですが接続数のサンプルがまだ二つしかなくて考える材料が少ないので、今回は他の接続数を求めていきます！

接続数を求めよう！

$1233$ や $5882353$ は

$12^2+33^2=1200+33$

$588^2+2353^2=5880000+2353$

のように表せます。したがって接続数は一般に

$\boldsymbol{x^2+y^2=10^nx+y}$

$(1)$

となることがわかります。

$1233$ のときは $𝑛=2$ 、 $5882353$ のときは $𝑛=4$ です。

したがって接続数は、方程式 $𝑥^2+𝑦^2=10^𝑛𝑥+𝑦$ の自然数解 $(x,y)$ を見つければいいですね！

$(1)$ 式は円の方程式になっているので平方完成してみると、

$\Bigl(x−\cfrac{10^n}2 \Bigr)^2+\Bigl(y−\cfrac{1}2\Bigr)^2=\cfrac{10^{2n}+1}4$

$(2)$

となります。この円の半径は、 $\sqrt{\cfrac{10^{2n}+1}4} \fallingdotseq \sqrt{\cfrac{10^{2n}}4}=\cfrac{10^n}2$ 　であるから $x,y$ のおおよその範囲は

$-\cfrac{10^n}2 \lt x−\cfrac{10^n}2 \lt \cfrac{10^n}2$ より $\boldsymbol{0 \lt x \lt 10^n}$

$-\cfrac{10^n}2 \lt y−\cfrac{1}2 \lt \cfrac{10^n}2$ より $\boldsymbol{-\cfrac{10^n}2 \lt y \lt \cfrac{10^n}2}$

だとわかります。

これにより、 $(1)$ の自然数解 $(x,y)$ は必ずn桁以下だとわかります。

これにより、 $5880000$ などでゼロが並ぶ個数は $10^nx$ よりn個なので $y$ の桁数よりも小さくはなりません。

そのため $123000+4567=123$ $7$ $567$

みたいにゼロが足りなくて $x$ と $y$ が被ってしまう事例は有り得ません。

要するに $(1)$ の自然数解は全て接続数になるというわけです！

$(2)$ の両辺に４をかけて綺麗にすると

$(2x−10^n)^2+(2y−1)^2=10^{2n}+1$

$(3)$

と変形できるため、 $X=2x−10, Y=2y−1$ と置いた

$\boldsymbol{ X^2+Y^2=10^{2n}+1}$

$(4)$

の整数解を求めればいいとわかります！

原点を通る円の整数解

ブラーマグプタの二平方和恒等式という下の恒等式があります。

$\boldsymbol{(s^2+t^2)(u^2+v^2)=(su \pm tv)^2+(sv \mp tu)^2}$

(複号同順)

これを用いることで $(4)$ の整数解を求められます！

この式は展開すれば成り立つことがわかります。

右辺 : $(s^2+t^2)(u^2+v^2)=s^2u^2+s^2v^2+t^2u^2+t^2v^2$

左辺 : $(su \pm tv)^2+(sv \mp tu)^2$ $= s^2u^2 \pm 2stuv +t^2v^2 +s^2v^2 \mp 2stuv +t^2u^2 =s^2u^2+s^2v^2+t^2u^2+t^2v^2$

同じになっていますね！

したがって、 $\boldsymbol{(s^2+t^2)(u^2+v^2)=10^{2n}+1}$ となる整数 $s, t, u, v$ を求めれば、この恒等式を使うと

$(su \pm tv)^2+(sv \mp tu)^2 = 10^{2n}+1$ になるため

$X = (su \pm tv)$ , $Y=(sv \mp tu)$ と置けば解になります！

また、このとき $-(su \pm tv)$ や $-(sv \mp tu)$ とマイナスが付いても二乗すれば関係ないので

$\boldsymbol{(X,Y) = \Bigl( \pm(su \pm tv) , \pm(sv \mp tu) \Bigr)}$ が $(4)$ の整数解となります！

つまり、 $10^{2n}+1$ を二乗の和の積 $(s^2+t^2)(u^2+v^2)$ に分解できれば接続数が求まります！

$n=2$ で見てみましょう！

２桁の解を全て求めてみよう！

$n=2$ のとき $10^4+1$ を分解すればいいのですが

これは $10^4+1 = 73\times 137$ と素因数分解できます。

ここで次の定理を用います！

フェルマーの二平方和定理

素数 $p$ は４で割って１余るとき $p =x^2 +y^2$ と一通りの二乗の和にできる。

証明は私がよくわかってないので省略します(笑)

$73,137$ は両方４で割ると１余る素数です！よってこの定理によって下のように一通りの二乗の和にできます！

$73=3^2 + 8^2$ , $137=4^2+ 11^2$

これらの数はしらみつぶしに探します。

これで二乗の和の積に分解できます！

$10^4+1 = (3^2 + 8^2)(4^2+ 11^2) = (s^2+t^2)(u^2+v^2)$

と、整数 $s, t, u, v$ を決めます。

$(X,Y) = \Bigl( \pm(su \pm tv) , \pm(sv \mp tu) \Bigr)$ より　

$(X,Y) = \biggl(\pm \Bigl( (3\times 4) \pm (8\times 11)\Bigr), \pm \Bigl( (3\times 11) \mp (8\times 4) \Bigr) \biggr)$

つまり、

$(X,Y)= (100,1), (-100,1), (100,-1), (-100,-1)$ $(76,65), (-76,65), (75,-65), (-75,-65)$

が $n=2$ のときの $(4)$ の全ての整数解となります！

他に解がないことは $73,137$ が一通りにしか二乗の和にならないことからわかります。

$X=2x−100, Y=2y−1$ より、

$(x,y) = (100, 1), (0, 0), (100, 0), (0, 1)$ $(88, 33), (12, 33), (88, -32), (12, -32)$

が、 $(1)$ のすべての整数解です！

$(100, 1), (0, 0), (100, 0), (0, 1)$ のつまらない４つの解を除くと、2桁の場合では

$\boldsymbol{12^2 + 33^2 =1233}$ と、もう一つ新しく

$\boldsymbol{88^2 + 33^2 =8833}$ という接続数があります！

このように $10^{2n}+1$ の素因数が丁度二つで、どちらも４で割ったあまりが１ならn桁の接続数を求められます！

実は $10^{2n}+1$ の素因数は全て４で割ったあまりが１になります！証明は【数遊び編３】でする予定です。

４桁の解も全て求めてみよう！

$\boldsymbol{5882353}$ は、 $2353$ が４桁のため $n=4$ の解です。

この解も全て求めてみましょう！

もしかしたら $\cfrac{1}{17}$ に出てきた理由がわかるかもしれません！

$10^8+1$ の素因数分解は難しいですが、小さい素数で順に割っていくと

$17$ で割り切れることがわかります。

$\boldsymbol{10^8+1 = 17 \times 5882353}$

あれ！？

$5882353$ が出てきました！

よく考えると $17$ もあります！

解法は一旦置いておいてこの式を式変形してみます。

$\cfrac{1}{17}=\cfrac{5882353}{10^8+1} \fallingdotseq \cfrac{5882353}{10^8} =0.05882353$

これで、 $5882353$ が $\cfrac{1}{17}$ の循環小数の前半部分と似ている理由がわかりました！

すっきりです★
思ったよりも早くわかりましたね。

それでは解をちゃちゃっと求めます。

$17=1^2+4^2$ です。

$5882353 = 588^2 +2353^2$ であることはご存じの通り。しかもこの数は調べると素数なのでこれで分解は終わりです！

$10^8+1= (1^2+4^2 )(588^2 +2353^2)$

$(X,Y) = \biggl(\pm \Bigl( (1\times 588) \pm (4\times 2353)\Bigr), \pm \Bigl( (1\times 2353) \mp (4\times 588) \Bigr) \biggr)$ 　

より

$(X,Y)= (10^4,1), (-10^4,1), (10^4,-1), (-10^4,-1)$ $(8824,4705), (-8824,4705), (8824,-4705), (-8824,-4705)$

となるので

$(x,y) = (10^4, 1), (0, 0), (10^4, 0), (0, 1)$ $(9412, 2353), (588, 2353), (9412, -2352), (9412, -2352)$

これですべての解が求まりました！

このように

$\boldsymbol{588^2+2353^2 =5882353}$ と、新しい接続数

$\boldsymbol{9412^2+2353^2 = 94122353}$ が得られました。

この二つの接続数と、先ほどの二つの接続数

$12^2 + 33^2 =1233$

$88^2 + 33^2 =8833$

の二つの接続数の $\boldsymbol{x}$ の値と $\boldsymbol{y}$ の値を見比べてみると二つの規則性が見えてくると思います。 $\boldsymbol{y}$ の値の規則性は一目瞭然だと思います！ $\boldsymbol{x}$ の値の規則性も考えてみて下さい。