【循環小数４】すさまじい桁の接続数

目次：全体の目次【数遊び編】【代数・幾何編】 - dedemoni's mathematics

概要：【はじめに】588^2+2353^2=5882353 と分数 1/17 = 0.5882352... - dedemoni's mathematics

前回：【循環小数３】分かったことを導出していく回 - dedemoni's mathematics

すさまじい接続数を求めてみよう！

下の結果１より分数と接続数の関係がわかったので、それを利用して接続数が求められるか考えてみましょう！

結果１

$10^{2n}+1 = (s^2+t^2)(u^2+v^2)$ としたとき、

$\cfrac{s^2}{s^2+t^2}$ の循環小数の前半部分か後半部分は 接続数-1

ある素数 $p$ が $10^{2n}+1$ の約数だった場合

$p =s^2+t^2$ と二乗の和にできたら、 $10^{2n}+1=(s^2+t^2)(\;........)$ となるため、 $\cfrac{s^2}{s^2+t^2}$ の小数部分を計算すれば、結果１よりその前半部分か後半部分は接続数-1 になっています。

$(\;........)$ の部分はわからなくて大丈夫です。

したがって素数 $p$ が $10^{2n}+1$ の約数となることがわかっているならすぐに接続数を出すことが出来ます。

そして下の定理を見てください。

定理

整数 $m$ を用いて $40m+17$ , $40m+21$ , $40m+29$ , $40m+33$ のいずれかで書ける素数 $p$ は $10^{2n}+1$ 型の数の約数である。また $p =s^2+t^2$ となる $s,t$ が一通りだけ存在する。

なんだこの都合が良すぎる定理は！！！

※『素数はめぐる循環小数で語る数論の世界』（西来路文朗，清水健一）：ブルーバックス｜講談社BOOK倶楽部の定理10.3.を元に導きました。

ちゃんとした証明は省略しますが、少しだけ解説します。

まず、 $\cfrac{1}p$ の循環小数の数字を $A$ の長さを $k$ とすると、

$\cfrac{1}p = \cfrac{A}{10^k}+\cfrac{A}{10^{2k}}+\cfrac{A}{10^3k}...$

と書けますよね。これは無限等比級数の和で下に収束します。

$\cfrac{1}p = \cfrac{A}{10^k-1}$

すなわち、 $10^k-1=pA$ となるので素数 $p$ は必ず $10^k-1$ の数の約数になります！もし循環節の長さが４の倍数で $k=4l$ となるならば、

$10^{4l}-1=(10^{2l}+1)(10^{2l}-1)$ と因数分解できるので、 $p$ は $10^{2l}+1$ か $10^{2l}-1$ のどちらかを割り切ります！

ここで前者の約数のとなる $p$ の条件を調べると、素数 $p$ が整数 $m$ を用いて $40m+17$ , $40m+21$ , $40m+29$ , $40m+33$ のいずれかで書けるならば必ず前者 $10^{2l}+1$ の約数になります！

そして、【数遊び編１】でも説明しましたが、 $10^{2n}+1$ 型の約数は必ず $p =s^2+t^2$ となる $s,t$ が一通りだけ存在します！

この証明はまた今度にやります。

(規則の解説終わり)

$40m+17$ , $40m+21$ , $40m+29$ , $40m+33$ の $m$ に色んな値を入れてみて、素数になったら素数を $s^2+t^2$ と分解して、分数 $\cfrac{s^2}{s^2+t^2}$ の循環節を求めれば、その前半部分か後半部分が接続数となります！

試しに、 $40m+21$ に $m=1$ を代入すると $61$ ですが、これは素数です。 $61 = 5^2+6^2$ と二乗の和になるので分数を計算します。

$\cfrac{5^2}{5^2+6^2} = 0.$ $409836065573770$ $491803278688524$ $590163934426229508196721311475...$ （以下循環）

循環するまで長いですね。前半か後半のどちらが接続数-1 なのかは1桁目だけ計算して合うか調べるとわかります。今回は前半部分が接続数-1 です。したがって次の数式が得られます。

$409836065573770^2$ $+$ $491803278688525^2$ $=$ $409836065573770$ $491803278688525$

簡単に15桁の解を簡単に求めることが出来ました！

$m=1$ でこんな長い接続数がでるのは凄いですね！

次は $40m+17$ に $m=100$ あたりの数でも代入してみますか！ $4017$ は $3$ で割り切れるのでだめですが、 $m=101$ を代入した $4057$ は素数です。

$4057=24^2+59^2$ なので

$\cfrac{24^2}{24^2+59^2}$ の循環小数部分を計算すると

下のようになります。

0.141976830170076411141237367512940596499876756223810697559773231451811683509982745871333497658368252403253635691397584421986689672171555336455508996795661819078136554104017747103771259551392654670939117574562484594527976337194971653931476460438747843233916687207296031550406704461424698052748336209021444417056938624599457727384767069263002218387971407443924081833867389696820310574315997042149371456741434557554843480404239585900912003943800838057678087256593542026127680552132117328074932215923095883657875277298496425930490510229233423712102538821789499630268671432092679319694355435050529948237614000492975104757209760907074192753265960069016514666009366526990386985457234409662312053241311313778654177964012817352723687453783583929011584914961794429381316243529701750061621888094651220113384274094158245008627064333251170815873798373182154301207789006655163914222331772245501602169090460931722947991126448114370224303672664530441212718757702736011831402514173034261769780626078383041656396351984224796647769287650973625831895489277791471530687700271136307616465368498890806014296278037959083066305151589844712842001478925314271629282721222578259797880207049543998028099580971160956371703228986936159723933941335962533892038452058171062361350751787034754744885383288143948730589105250184865664283953660340152822282474735025881192999753512447621395119546462903623367019965491742666995316736504806507271382795168843973379344343110672911017993591323638156273108208035494207542519102785309341878235149124969189055952674389943307862952920877495686467833374414592063100813408922849396105496672418042888834113877249198915454769534138526004436775942814887848163667734779393640621148631994084298742913482869115109686960808479171801824007887601676115356174513187084052255361104264234656149864431846191767315750554596992851860981020458466847424205077643578999260537342864185358639388710870101059896475228000985950209514419521814148385506531920138033029332018733053980773970914468819324624106482622627557308355928025634705447374907567167858023169829923588858762632487059403500123243776189302440226768548188316490017254128666502341631747596746364308602415578013310327828444663544491003204338180921863445895982252896228740448607345329060882425437515405472023662805028346068523539561252156766083312792703968449593295538575301947251663790978555582943061375400542272615232930736997781612028592556075918166132610303179689425684002957850628543258565442445156519595760414099087996056199161942321912743406457973872319447867882671925067784076904116342124722701503574069509489770766576287897461178210500369731328567907320680305644564949470051762385999507024895242790239092925807246734039930983485333990633473009613014542765590337687946758688686221345822035987182647276312546216416070988415085038205570618683756470298249938378111905348779886615725905841754991372935666748829184126201626817845698792210993344836085777668227754498397830909539068277052008873551885629775696327335469558787281242297263988168597485826965738230219373921616958343603648015775203352230712349026374168104510722208528469312299728863692383534631501109193985703721962040916933694848410155287157998521074685728370717278777421740202119792950456001971900419028839043628296771013063840276066058664037466107961547941828937638649248212965245255114616711856051269410894749815134335716046339659847177717525264974118807000246487552378604880453537096376632980034508257333004683263495193492728617204831156026620655656889327088982006408676361843726891791964505792457480897214690658121764850875030810944047325610056692137047079122504313532166625585407936899186591077150603894503327581957111165886122750801084545230465861473995563224057185112151836332265220606359378851368005915701257086517130884890313039191520828198175992112398323884643825486812915947744638895735765343850135568153808232684249445403007148139018979541533152575794922356421000739462657135814641360611289129898940103524771999014049790485580478185851614493468079861966970667981266946019226029085531180675375893517377372442691644071974365294552625092432832...(以下循環)

うわあああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！

この赤部分の二乗と青部分+1の二乗を計算するとちゃんと二数を接続した数になります。

858023169829923588858762632487059403500123243776189302440226768548188316490017254128666502341631747596746364308602415578013310327828444663544491003204338180921863445895982252896228740448607345329060882425437515405472023662805028346068523539561252156766083312792703968449593295538575301947251663790978555582943061375400542272615232930736997781612028592556075918166132610303179689425684002957850628543258565442445156519595760414099087996056199161942321912743406457973872319447867882671925067784076904116342124722701503574069509489770766576287897461178210500369731328567907320680305644564949470051762385999507024895242790239092925807246734039930983485333990633473009613014542765590337687946758688686221345822035987182647276312546216416070988415085038205570618683756470298249938378111905348779886615725905841754991372935666748829184126201626817845698792210993344836085777668227754498397830909539068277052008873551885629775696327335469558787281242297263988168597485826965738230219373921616958343603648015775203352230712^2+349026374168104510722208528469312299728863692383534631501109193985703721962040916933694848410155287157998521074685728370717278777421740202119792950456001971900419028839043628296771013063840276066058664037466107961547941828937638649248212965245255114616711856051269410894749815134335716046339659847177717525264974118807000246487552378604880453537096376632980034508257333004683263495193492728617204831156026620655656889327088982006408676361843726891791964505792457480897214690658121764850875030810944047325610056692137047079122504313532166625585407936899186591077150603894503327581957111165886122750801084545230465861473995563224057185112151836332265220606359378851368005915701257086517130884890313039191520828198175992112398323884643825486812915947744638895735765343850135568153808232684249445403007148139018979541533152575794922356421000739462657135814641360611289129898940103524771999014049790485580478185851614493468079861966970667981266946019226029085531180675375893517377372442691644071974365294552625092432833^2=858023169829923588858762632487059403500123243776189302440226768548188316490017254128666502341631747596746364308602415578013310327828444663544491003204338180921863445895982252896228740448607345329060882425437515405472023662805028346068523539561252156766083312792703968449593295538575301947251663790978555582943061375400542272615232930736997781612028592556075918166132610303179689425684002957850628543258565442445156519595760414099087996056199161942321912743406457973872319447867882671925067784076904116342124722701503574069509489770766576287897461178210500369731328567907320680305644564949470051762385999507024895242790239092925807246734039930983485333990633473009613014542765590337687946758688686221345822035987182647276312546216416070988415085038205570618683756470298249938378111905348779886615725905841754991372935666748829184126201626817845698792210993344836085777668227754498397830909539068277052008873551885629775696327335469558787281242297263988168597485826965738230219373921616958343603648015775203352230712349026374168104510722208528469312299728863692383534631501109193985703721962040916933694848410155287157998521074685728370717278777421740202119792950456001971900419028839043628296771013063840276066058664037466107961547941828937638649248212965245255114616711856051269410894749815134335716046339659847177717525264974118807000246487552378604880453537096376632980034508257333004683263495193492728617204831156026620655656889327088982006408676361843726891791964505792457480897214690658121764850875030810944047325610056692137047079122504313532166625585407936899186591077150603894503327581957111165886122750801084545230465861473995563224057185112151836332265220606359378851368005915701257086517130884890313039191520828198175992112398323884643825486812915947744638895735765343850135568153808232684249445403007148139018979541533152575794922356421000739462657135814641360611289129898940103524771999014049790485580478185851614493468079861966970667981266946019226029085531180675375893517377372442691644071974365294552625092432833

もう逆に何がすごいのかわかんないですね

循環小数編、これにて完！！！！！

次回からは複素数編です！

次回は複素数を用いることで指定した桁数の接続数を全て求められるようになります！